Bài 9 trang 17 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)

Lời giải chi tiết

+) Qua \(M\) kẻ các đường \({A_1}{B_1}\;//{\rm{ }}AB;{\rm{ }}{A_2}{C_2}\;//{\rm{ }}AC;{\rm{ }}{B_2}{C_1}\;//{\rm{ }}BC\) như hình vẽ.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{B_1}//AB \Rightarrow \widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {ABC} = {60^0}\\
M{C_2}//AC \Rightarrow \widehat {M{C_2}{B_1}} = \widehat {ACB} = {60^0}
\end{array}\)

Tam giác \(M{B_1}{C_2}\) có \(\widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {M{C_2}{B_1}} = {60^0}\) nên là tam giác đều.

Tương tự các tam giác \(M{A_1}{C_1};M{A_2}{B_2}\)đều là các tam giác đều.

+) Lại có \(MD\; \bot {B_1}{C_2}\) nên \(MD\) cũng là trung tuyến của tam giác \({B_1}D{C_2}\)

Ta có \(2\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}} \)

Tương tự: \(2\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{C_1}} \)

               \(2\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {M{A_2}}  + \overrightarrow {M{B_2}} \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MF} \\
= \left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{A_1}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right)
\end{array}\)

\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{A_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{B_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{C_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}} } \right)\)

+) Mặt khác: Tứ giác \(M{A_1}A{A_2}\) là hình bình hành nên  \(\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{A_2}}  = \overrightarrow {MA} \)

Tương tự: \(\overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{B_2}}  = \overrightarrow {MB} ;\quad \overrightarrow {M{C_1}}  + \overrightarrow {M{C_2}}  = \overrightarrow {MC} \)

\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} {\rm{ }}\)

Vì \(O\) là trọng tâm của tam giác và \(M\) là một điểm bất kì nên

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MO} \)

+) Cuối cùng ta có: 

\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right) = 3\overrightarrow {MO} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)

HocTot.Nam.Name.Vn