Bài 89 trang 111 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là trung điểm của $AB, E$ là điểm đối xứng với $M$ qua $D$.

a) Chứng minh rằng điểm $E$ đối xứng với điểm $M$ qua $AB$.

b) Các tứ giác $AEMC, AEBM$ là hình gì? Vì sao?

c) Cho $BC = 4cm$, tính chu vi tứ giác $AEBM$.

d) Tam giác vuông $ABC$, có điều kiện gì thì $AEBM$ là hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Ta có $MB = MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$ ),

$BD = DA$ (vì $D$ là trung điểm của $AB$ )

nên $MD$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác) 

Do đó $MD // AC,MD=\dfrac{AC}2$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do $AC ⊥ AB$ (gt) nên $MD ⊥ AB$ 

Vì $E$ là điểm đối xứng với $M$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm của $EM$ hay $DE=DM$

Do đó, $AB$ là đường trung trực của $ME$ (do $AB ⊥ ME$ tại $D$ và $DE = DM$) nên $E$ đối xứng với $M$ qua $AB$.

b) Ta có: $EM // AC$ (do $MD // AC$)

và $EM = AC$ (cùng bằng $2DM$)

Suy ra $AEMC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Tứ giác $AEBM$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Hình bình hành $AEBM$ có $AB ⊥ EM$ (chứng minh trên) nên $AEBM$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

c) Ta có $BC = 4 cm \Rightarrow BM = 2 cm$ (do $M$ là trung điểm $BC$)

Chu vi hình thoi $AEBM$ bằng $4.BM = 4. 2 = 8(cm)$

d) Cách 1:

Hình thoi $AEBM$ là hình vuông $⇔ AB = EM ⇔ AB = AC$

Vậy nếu $ABC$ vuông có thêm điều kiện $AB = AC$ (tức là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$) thì $AEBM$ là hình vuông.

Cách 2 :

Hình thoi $AEBM$ là hình vuông $⇔AM ⊥ BM$

$⇔∆ABC$ có trung tuyến $AM$ là đường cao

$⇔∆ABC$ cân tại $A$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Vậy nếu $∆ABC$ vuông có thêm điều kiện cân tại $A$ thì $AEBM$ là hình vuông.