Bài 8.30 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Biết AA’ = 2a, tính thể tích khối lăng trụ này.

Lời giải chi tiết

Gọi D là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC

A’.ABC là chóp tam giác đều nên A’G vuông góc với (ABC). Suy ra A’G là chiều cao của hình lăng trụ

Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên BD vuông góc với AC

Ta có: \(BD = \sqrt {A{B^2} - A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(BG = \frac{2}{3}BD = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

Xét tam giác vuông A’BG vuông tại G có:

\(A'G = \sqrt {A'{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\)

\(V = S.h = \frac{1}{2}.BD.AC.A'G = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.a.\frac{{\sqrt {33} }}{3}a = \frac{{\sqrt {11} }}{4}{a^3}\)