Bài 8.15 trang 78 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Gọi các biến cố:

$A$: “Chọn được học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.

Suy ra $\overline A$: “Chọn được học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu”.

$B$: “Chọn được học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

Suy ra $\overline B$: “Chọn được học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu”.

Ta có $P(A) = 93\%  = 0,93$; $P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,93 = 0,07$;

$P(A) = 87\%  = 0,87$; $P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,87 = 0,13$.

Có $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố $A - \overline B$; $\overline A  - B$ và $\overline A  - \overline B$ cũng độc lập.

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

$P(AB) = P(A).P(B) = 0,93.0,87 = 0,8091$.

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

$P(\overline A \overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,07.0,13 = 0,0091$.

c) Để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu:

+ TH1: Học sinh trường X đạt yêu cầu, học sinh trường Y không đạt yêu cầu:

$P(A\overline B ) = P(A).P(\overline B ) = 0,93.0,13 = 0,1209$.

+ TH2: Học sinh trường X không đạt yêu cầu, học sinh trường Y đạt yêu cầu:

$P(\overline A B) = P(\overline A ).P(B) = 0,07.0,87 = 0,0609$.

Vậy xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,1209 + 0,0609 = 0,1818$.

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,93 + 0,87 - 0,8091 = 0,9909$.