Bài 7.31 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

 

Vì hình chóp A’.ABC có A'A = A'B = A'C và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A’.ABC đều.

Gọi F là hình chiếu của A’ trên (ABC) nên F là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó F cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AF cắt BC tại D

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Mà F là trọng tâm nên $AF = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác A’AF vuông tại F có

$A'F = \sqrt {A'{A^2} - A{F^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}$

Diện tích tam giác đều ABC là $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Thể tích khối lăng trụ là $V = A'F.S = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$