Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua $M\left( {0;3;6} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)$.

Đường thẳng d’ đi qua $M'\left( {2;1;2} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)$.
Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 2; - 4} \right)\,;\cr &\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {1;2; - 1} \right) \cr  & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 2 - 4 + 4 = 2 \ne 0. \cr}$

Vậy d và d’ chéo nhau.
Ta có $\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 1 + 0 - 1 = 0$ $\Rightarrow d \bot d'.$

Quảng cáo

LG b

Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.

Lời giải chi tiết:

Mp(P) đi qua $M\left( {0;3;6} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)$ nên ta có phương trình:

$x - \left( {y - 3} \right) - \left( {z - 6} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0$

Mp(Q) đi qua $M'\left( {2;1;2} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)$ nên có phương trình: $\left( {x - 2} \right) + z - 2 = 0$ $\Leftrightarrow x + z - 4 = 0$

LG c

Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

Lời giải chi tiết:

Đường vuông góc chung $\Delta$ của d và d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên

$\Delta :\left\{ \matrix{ x - y - z + 9 = 0 \hfill \cr  x + z - 4 = 0 \hfill \cr} \right.$.

Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)$\in \Delta$ , $\Delta$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$ $= \left( {\left| \matrix{ - 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr  0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1\,\,\,\,1 \hfill \cr  1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr  1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right)$ $= \left( { - 1; - 2;1} \right)$

Phương trình chính tắc của $\Delta :\,{x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}$

HocTot.Nam.Name.Vn