Bài 67 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $MNP$ với đường trung tuyến $MR$ và trọng tâm $Q.$

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác $MPQ$ và $RPQ.$

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác $MNQ$ và $RNQ.$

Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác $QMN, QNP, QPM$ có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ $PB   \perp  MR$ tại $B$.

Vậy tam giác $MPQ$ và $RPQ$ có chung đường cao $PB.$ 

Vì $Q$ là trọng tâm của $∆MNP$ nên điểm $Q$ thuộc đường trung tuyến $MR$ và  $MQ = 2QR.$

Ta có:  $S_{\Delta MPQ}= \dfrac{1}{2}MQ.PB$$\,= \dfrac{1}{2}. 2QR.PB =QR.PB$

và       $S_{\Delta RPQ}= \dfrac{1}{2}QR.PB$
Vậy:    $\dfrac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2$    (1)

b) Vẽ $NA   \perp  MR$ tại $A$

Vậy tam giác $MNQ$ và $RNQ$ có chung đường cao $NA.$

Vì $Q$ là trọng tâm của $∆MNP$ nên điểm $Q$ thuộc đường trung tuyến $MR$ và  $MQ = 2QR.$

Ta có:  $S_{\Delta MNQ}= \dfrac{1}{2}MQ.NA$$= \dfrac{1}{2}. 2QR.NA =QR.NA$

và       $S_{\Delta RNQ}= \dfrac{1}{2}QR.NA$
Vậy:    $\dfrac{S_{\Delta MNQ}}{S_{\Delta RNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2$    (2)

c) Hai tam giác $∆RPQ$ và $∆RQN$ có chung đường cao kẻ từ $Q$ và $PR = RN$ nên ${S_{RPQ}} = {S_{RQN}}$

Vì ${S_{RPQ}} + {S_{RQN}} = {S_{QNP}}$ 

Nên ${S_{QNP}} = 2{S_{RPQ}} = 2{S_{RQN}}$ hay $\dfrac{S_{\Delta QNP}}{S_{\Delta RPQ}} =2$   (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: ${S_{MNQ}} ={S_{QNP}} ={S_{MPQ}}$

(Chú ý: $S$ là diện tích, ví dụ ${S_{MNQ}}$ là diện tích tam giác $MNQ$).

HocTot.Nam.Name.Vn