Bài 6 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho bốn điểm: $A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2)$.

Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\vec{AB} = (1; 7)$; $\vec{DC}= (1; 7)$,  $\vec{AD} = (-7; 1)$

$\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$

Mà $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}$ không cùng phương

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành  (1)

Ta có :

$\begin{array}{l} AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} \\ = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\ AD = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} \\ = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \end{array}$

Suy ra $AB = AD$, kết hợp với (1) suy ra $ABCD$ là hình thoi (2)

Mặt khác $\vec{AB} = (1; 7)$; $\vec{AD} = (-7; 1)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 1.( - 7) + 7.1 = 0$

$\Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}$ nên $AB\bot AD$ (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra $ABCD$ là hình vuông.

Chú ý:

Các em cũng có thể đổi thứ tự chứng minh $AB\bot AD$ lên trước để suy ra tứ giác là hình chữ nhật, rồi sau đó chứng minh $AB=AD$ suy ra tứ giác là hình vuông cũng được.

HocTot.Nam.Name.Vn