Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12

LG a

a) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Tính độ dài đoạn $AH$.

Phương pháp giải:

+ Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD$ và suy ra $HB = HC = HD$.

+ Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn $AH$.

Lời giải chi tiết:

Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có $6$ cạnh đều bằng nhau.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên mp $BCD$

Xét ba tam giác $ABH, ACH$ và $ADH$ có:

$AB= AC = AD$ ( vì $ABCD$ là tứ diện đều).

$AH$ chung

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \widehat {AHD} = {90^0}$

 $\Rightarrow \Delta \,ABH = {\rm{ }}\Delta \,ACH\,{\rm{ =  }}\Delta \,ADH$ ( ch- cgv)

Suy ra, $HB = HC = HD$ .

Vậy $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD.$

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$.

Do $\Delta BCD$ đều nên $BI  = BC\sin {60^0}= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}$;

Do tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên : 

$A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$ $\displaystyle={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {\displaystyle 2 \over 3}{a^2}$.

Vậy $\displaystyle AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a$

LG b

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác $BCD$ và chiều cao $AH$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: ${S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h$, trong đó $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác $BCD$ đều cạnh $a$, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $\displaystyle r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}$, cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

$\displaystyle S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}$ (đtdt).

Thể tích khối trụ là: $\displaystyle V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}$ (đttt)

HocTot.Nam.Name.Vn