Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

LG a

a) Tính thể tích của  theo $α$ và $R$.      

Phương pháp giải:

Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng $OM, \, \, MP$ và trục hoành.

+) Xác định phương trình đường thẳng $OM$ và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay   cần tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right.$ $\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .$

$\Rightarrow$ Điểm $M$ thuộc đường thẳng $y=x.\tan \alpha .$

Mà $O$ cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng $OM$ là $y=x.\tan \alpha .$

Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:

$\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx}  \\= \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha  \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\ = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right).\left( {dvtt} \right).\end{array}$

Cách khác:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OP = R\cos \alpha \\MP = R\sin \alpha \end{array} \right.$

Khi quay tam giác $OPM$ quanh trục $Ox$ ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy $r = MP = R\sin \alpha$ và chiều cao $h = OP = R\cos \alpha$

Thể tích khối nón là:

$\begin{array}{l} V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\ = \frac{1}{3}\pi {\left( {R\sin \alpha } \right)^2}.R\cos \alpha \\ = \frac{1}{3}\pi {R^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \\ = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\cos \alpha \\ = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right) \end{array}$

LG b

b) Tìm $α$ sao cho thể tích  là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Tính được thể tích của khối tròn xoay   theo $\alpha.$ Khảo sát hàm số $V=V(\alpha)$ để tìm thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: $V (\alpha) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - co{s^3}\alpha } \right).$

Đặt  $t = \cos \alpha .$

Với  $\alpha  \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].$

Khi đó ta xét hàm: $V\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)$  trên $\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].$

Có:  $V'\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right)$

$\Rightarrow V'\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..$

Ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow$ Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi  $t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$ $\Leftrightarrow \alpha  = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy thể tích khối   lớn nhất khi $\alpha  = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$

HocTot.Nam.Name.Vn