Bài 5 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}.$

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}$ (quy tắc 3 điểm)

Suy ra $\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}.$

Trên tia $CB,$ lấy điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}$ $= \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}$

Xét tam giác $EAC$ ta có: đường trung tuyến $AB$ bằng nửa cạnh $CE$ nên là tam giác vuông tại $A$

Áp dụng định lý Pitago ta có:

$A{E^2} + A{C^2} = C{E^2}$ $\Leftrightarrow AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}}$

Mà $AC = a, \, CE = 2a,$ 

Suy ra $AE= \sqrt {4{a^2} - {a^2}}$$= a\sqrt 3.$

Vậy $\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3.$

Cách khác:

Dựng hình bình hành ABCD ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB\end{array}$

+ Tính BD:

Hình bình hành ABCD có AB = BC = a nên ABCD là hình thoi.

⇒ AC ⊥ BD tại O là trung điểm của AC và BD.

HocTot.Nam.Name.Vn