Bài 47 trang 133 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.$162$). Chứng minh sáu tam giác: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ có diện tích bằng nhau. 

Lời giải chi tiết

Theo tính chất của trung tuyến, suy ra:

 ${S_1} = {S_2}$ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (1)

 ${S_3} = {S_4}$ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (2)

 ${S_5} = {S_6}$ (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) (3)

Lại có:  ${S_1} + {S_2} + {S_3} = {S_4} + {S_5} + {S_6}$$\left( { = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}} \right)$ (4)

Kết hợp (4) với (1), (2), (3) suy ra  ${S_1} + {S_1} + {S_3} = {S_4} + {S_6} + {S_6}$ 

$\Rightarrow 2{S_1} + {S_3} = {S_4} + 2{S_6}$ 

$\Rightarrow 2{S_1}=2{S_6}$ (do ${S_3} = {S_4}$) 

$\Rightarrow {S_1} = {S_6}$ (4’)

Và  ${S_1} + {S_2} + {S_6} = {S_3} + {S_4} + {S_{5}}$$\left( { =\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}} \right)$ (5)

Kết hợp (5) với  (1), (2), (3) suy ra  ${S_2} + {S_2} + {S_6} = {S_3} + {S_3} + {S_{5}}$

$\Rightarrow 2{S_2} + {S_6} = 2{S_3} + {S_5}$ 

$\Rightarrow 2{S_2}=2{S_3}$ (do ${S_6}= {S_5}$) 

$\Rightarrow {S_2} = {S_3}$ (5’)

Từ (4’),  (5’) và kết hợp với  (1), (2), (3) ta có :

 ${S_1} = {S_2} = {S_3} = {S_4} = {S_5} = {S_6}$

Hay $6$ tam giác có diện tích bằng nhau. 

HocTot.Nam.Name.Vn