Bài 44 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Đề bài

Xác định các giá trị k và m để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng :

$5x+ky+4z+m=0$

$3x-7y+z-3=0$

$x-9y-2z+5=0.$

Lời giải chi tiết

Để ba mặt phẳng đã cho cùng đi qua một đường thẳng, điều kiện cần và đủ là mặt phẳng $5x + ky + 4z + m = 0$ phải chứa hai điểm phân biệt của đường thẳng $\Delta$ với $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng còn lại.

Ta tìm hai điểm nào đó của $\Delta$.

Cho y = 0, ta có $\left\{ \matrix{  3x + z = 3 \hfill \cr  x - 2z =  - 5 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = {1 \over 7} \hfill \cr  z = {{18} \over 7} \hfill \cr}  \right.$

$\Rightarrow {M_1}\left( {{1 \over 7};0;{{18} \over 7}} \right) \in \Delta$

Cho z = 0, ta có $\left\{ \matrix{  3x - 7y = 3 \hfill \cr  x - 9y =  - 5 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = {{31} \over {10}} \hfill \cr  y = {9 \over {10}} \hfill \cr}  \right.$

$\Rightarrow {M_2}\left( {{{31} \over {10}};{9 \over {10}};0} \right) \in \Delta$

Thay tọa độ điểm ${M_1},{M_2}$ vào phương trình mặt phẳng $5x + ky + 4z + m = 0$ ta được hệ

$\left\{ \matrix{  {5 \over 7} + {{72} \over 7} + m = 0 \hfill \cr  {{155} \over {10}} + {{9k} \over {10}} + m = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow k =  - 5,m =  - 11.$

HocTot.Nam.Name.Vn