Bài 43 trang 132 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$ có tâm đối xứng $O$, cạnh $a.$ Một góc vuông $xOy$ có tia $Ox$ cắt cạnh $AB$ tại $E$, tia $Oy$ cắt cạnh $BC$ tại $F$ (h.$161$)

Tính diện tích tứ giác $OEBF.$

Lời giải chi tiết

Nối $OA, OB$.

Do $ABCD$ là hình vuông nên $O$ là trung điểm của $AC,BD$ và $\widehat{AOB}=90^0$

Ta có: $\widehat {AOE} + \widehat {BOE}=\widehat{AOB}=90^0$

$\widehat{FOB}+\widehat{EOB}=\widehat{xOy}=90^0$

Nên $\widehat {AOE} = \widehat {BOF}$ (cùng phụ với $\widehat {BOE}$)

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta BOF$ có:

+) $\widehat {AOE} = \widehat {BOF}$ (chứng minh trên)

+) $OA = OB$ ($O$ là tâm đối xứng của hình vuông)

+) $\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = {45^0}$ (tính chất hình vuông)

$\Rightarrow ∆AOE = ∆BOF\, (g.c.g)$

$\Rightarrow {S_{AOE}} = {S_{BOF}}$

Do đó  ${S_{OEBF}} = {S_{OEB}} + {S_{OBF}}$$= {S_{OEB}} + {S_{OAE}} = {S_{OAB}}$

${S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}BD$$\, = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{1}{2}AC.BD} \right) = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}$

Vậy  ${S_{OEBF}} =\dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}$ $= \dfrac{1}{4}{a^2}$

HocTot.Nam.Name.Vn