Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2}$

b) $y = \frac{2}{{3 - x}}$

c) $y = \sin 2x\cos x$

d) $y = {e^{ - 2x + 3}}$

e) $y = \ln (x + 1)$

f) $y = \ln ({e^x} + 1)$

Lời giải chi tiết

a) 

$\begin{array}{l}y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} \Rightarrow y' = 8{x^3} - 9{x^2} + 10x\\ \Rightarrow y'' = 24{x^2} - 18x + 10\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}y = \frac{2}{{3 - x}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \frac{{ - 6\left( {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right)'}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{{ - 6.\left( { - 1} \right).\left( {3 - x} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{6}{{{{\left( {3 - x} \right)}^3}}}\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}y = \sin 2x\cos x\\ \Rightarrow y' = 2\cos 2x.\cos x - \sin 2x.\sin x\\ = 2.\frac{1}{2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\cos 3x - \cos x} \right)\\ = \frac{3}{2}\cos 3x + \frac{1}{2}\cos x\\ \Rightarrow y'' =  - \frac{3}{2}.3.\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x =  - \frac{9}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x\end{array}$

d)

$y = {e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y' =  - 2{e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y'' = 4.{e^{ - 2x + 3}}$

e)

$y = \ln (x + 1) \Rightarrow y' = \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow y'' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

f)

$\begin{array}{l}y = \ln ({e^x} + 1) \Rightarrow y' = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}\\ \Rightarrow y'' = \frac{{\left( {{e^x}} \right)'.\left( {{e^x} + 1} \right) - {e^x}.\left( {{e^x} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right) - {e^x}.{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}\end{array}$