Bài 39 trang 124 SGK Toán 7 tập 1

Đề bài

Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 các tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Hình 105 

Xét $∆ABH$ và $∆ACH$ có:

+) $BH=CH$ (giả thiết)

+) $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

+) $AH$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆ABH=∆ACH$ (c.g.c)

Hình 106

Xét $∆DKE$ và $∆DKF$ có: 

+) $\widehat{EDK}=\widehat{FDK}$ (giả thiết)

+) $DK$ cạnh chung

+) $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^o$

$\Rightarrow ∆DKE=∆DKF$ (g.c.g)

Hình 107

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $∆ABD$ và $∆ACD$ ta có:

$\eqalign{ & \widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = {180^0}\;\;(1) \cr & \widehat {ACD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAC} = {180^0} \;\;(2)\cr}$

Mặt khác ta có: 

$\eqalign{ & \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)\;\;(3) \cr & \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\;\;(4) \cr}$

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$

Xét $∆ABD$ và $∆ACD$ có:

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)$

+) $AD$ cạnh chung

+) $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACD$ (g.c.g)

Cách khác: 

Xét $∆ABD$ vuông tại B và $∆ACD$ vuông tại C, ta có: 

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)$

+) $AD$ cạnh chung

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACD$ (cạnh huyền-góc nhọn)

Hình 108

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $∆ABD$ và $∆ACD$ ta có:

$\eqalign{ & \widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = {180^0} \;\;(5)\cr  & \widehat {ACD} + \widehat {CDA} + \widehat {DAC} = {180^0}\;\;(6) \cr}$

Mặt khác ta có: 

$\eqalign{ & \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết) \;\;(7)\cr  & \widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\;\;(8) \cr}$

Từ (5), (6), (7), (8) suy ra $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$

Xét $∆ABD$ và $∆ACD$ có:

+) $\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\,\,\,(giả \,thiết)$ 

+) $AD$ cạnh chung

+) $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ABD=∆ACD$ (g.c.g)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng )

$\Rightarrow AB=AC$ (hai cạnh tương ứng )

(Hoặc ta có thể chứng minh $∆ABD=∆ACD$ theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn) 

Xét $∆DBE$ và $∆DCH$ 

+) $\widehat {EBD} = \widehat {HCD} = {90^0}$ 

+) $BD=CD$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {BDE} = \widehat {CDH}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆DBE=∆DCH$ (g.c.g)

$\Rightarrow DE=DH$ (hai cạnh tương ứng)

Xét  $∆ABH$  và $∆ACE$ 

+) $\widehat A$ chung

+) $AB=AC$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {ABH} = \widehat {ACE} = {90^0}$

$\Rightarrow ∆ABH=∆ACE$ (g.c.g)

$\Rightarrow AH=AE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét  $∆ADE$  và $∆ADH$ 

+) Cạnh $AD$ chung

+) $AE=AH$ (chứng minh trên)

+) $DE=DH$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ADE=∆ADH$ (c.c.c)

HocTot.Nam.Name.Vn