Bài 34 trang 128 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật . Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.

Lời giải chi tiết

Vẽ hình chữ nhật $ABCD$. $M, N, P, Q.$ lần lượt là trung điểm các cạnh AD,AB,BC,CD

Vẽ tứ giác $MNPQ$

Ta có:

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $MN = \dfrac{1}{2}BD$ (tính chất)

$PQ$ là đường trung bình của tam giác $CBD$ nên $PQ = \dfrac{1}{2}BD$ (tính chất)

$NP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $NP = \dfrac{1}{2}AC$ (tính chất)

$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ADC$ nên $MQ = \dfrac{1}{2}AC$ (tính chất)

Mà ABCD là hình chữ nhật nên $AC = BD$ (tính chất hình chữ nhật) nên suy ra $MN = PQ = NP = MQ.$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ta có: $∆AMN = ∆INM , ∆BPN = ∆NIP,$$\,∆PCQ = ∆IQP, ∆DMQ = ∆IQM$

$\Rightarrow {S_{AMN}} = {S_{INM}},{S_{BPN}} = {S_{NIP}},$${S_{PCQ}} = {S_{IQP}},{S_{DMQ}} = {S_{IQM}}$

Ta có: 

${S_{MNPQ}} = {S_{MNI}} + {S_{NIP}} + {S_{IQP}}$$+ {S_{MQI}}$

$\begin{array}{l} = {S_{AMN}} + {S_{BNP}} + {S_{PCQ}} + {S_{MQD}}\\ = \dfrac{1}{2}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \dfrac{1}{2}.AB.AD \\= \dfrac{1}{2}.MP.NQ \end{array}$

Vậy ${S_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2} MP.NQ$.

Do đó diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.