Bài 33 trang 77 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\), thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng \(k\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) theo tỉ số \(k, A'M', AM\) là hai đường trung tuyến tương ứng.

Vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\) theo tỉ số k (giả thiết)

\(\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = k\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

Mà \(B'C' = 2B'M', BC = 2BM\) (tính chất trung tuyến)

\( \Rightarrow \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{2B'M'}}{{2BM}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\)

Xét  \(∆ABM\) và \( ∆A'B'M'\) có:

 \(\widehat{B} = \widehat{B'}\) (vì \(∆A'B'C'\) đồng dạng \(∆ABC\)) 

 \( \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆A'B'M' \) đồng dạng \(∆ABM\) theo tỉ số \(\frac{A'B'}{AB} = k\) (c-g-c)

\( \Rightarrow \dfrac{A'M'}{AM}= \dfrac{A'B'}{AB} = k.\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)