Bài 32 trang 50 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:

$\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$$\,+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}$$\,+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

$\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}$

$\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}$

$\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}=\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}$

$\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}=\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}$

$\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}=\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}$

Do đó, cộng vế với vế của các dòng trên, ta được: 

$\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$$\,+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}$$\,+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}$

$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}$$+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}$$+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}$$+ \dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}$$+\dfrac{1}{x+5}-\dfrac{1}{x+6}$

$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+6} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{ - 1}}{{x + 6}}$

$= \dfrac{{x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} + \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 6} \right)}}$

$=\dfrac{x+6-x}{x(x+6)}=\dfrac{6}{x(x+6)}$

HocTot.Nam.Name.Vn