Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0}\):

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{x}{2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 1\)

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\ - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\1 - 2x\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 2\)

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

+ Với \({x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} =  - \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  - \frac{x}{2} =  - \frac{1}{2}\)

Suy ra, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) cùng bằng \( - \frac{1}{2}\). Do đó hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\)

    b) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

+ Với \({x_0} = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) =  - 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - 2x} \right) = 1 - 2.2 =  - 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  - \left( {x + 2} \right) =  - 4\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) vì \( - 3 \ne 4\) do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0} = 2\)