Bài 31 trang 75 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là $\dfrac{15}{17}$ và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là $12,5 cm$. Tính hai cạnh đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử $∆A'B'C'$ đồng dạng $∆ABC$ và $AB-A'B'=12,5 cm$.(1)

Vì $∆A'B'C'$ đồng dạng $∆ABC$ (giả thiết) nên ta có: 

$\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}}$$\,= \dfrac{{A'B' + B'C' + C'A'}}{{AB + BC + CA}}$$\, = \dfrac{{{C_{A'B'C'}}}}{{{C_{ABC}}}} = \dfrac{{15}}{{17}}$

(với $C_{ABC}$ và $C_{A'B'C'}$ lần lượt là chu vi của hai tam giác $ABC, A'B'C'$) 

Do đó, $\dfrac{{A'B'}}{{AB}} =\dfrac{{15}}{{17}}$ 

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} =\dfrac{{17}}{{15}}\Rightarrow AB =\dfrac{{17}}{{15}}.A'B'$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\dfrac{{17}}{{15}}.A'B'  - A'B' = \dfrac{{2}}{{15}}.A'B' = 12,5$ cm

$\Rightarrow A'B' = 12,5:\dfrac{{2}}{{15}} = 12,5 . \dfrac{{15}}{{2}} = 93,75\,cm$

Lại có: $AB - A'B' = 12,5\,cm$ $\Rightarrow AB = 12,5 + 93,75 = 106,25\,\,cm.$