Bài 31 trang 16 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

b) ${a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)$

Áp dụng: Tính ${a^3} + {b^3}$ , biết $a . b = 6$ và $a + b = -5.$

Lời giải chi tiết

a) ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

Biến đổi vế phải:

$\eqalign{ & {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \cr & = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + \left( { - 3ab} \right).a + \left( { - 3ab} \right).b \cr & = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr & = {a^3} + \left( {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right) + {b^3} \cr & = {a^3} + {b^3} \cr}$

Vậy ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$

b) ${a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)$

Biến đổi vế phải:

$\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right) \cr & = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3ab.a + 3ab.\left( { - b} \right) \cr & = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} + 3{a^2}b - 3a{b^2} \cr & = {a^3} + \left( {3{a^2}b - 3{a^2}b} \right) + \left( {3a{b^2} - 3a{b^2}} \right) - {b^3} \cr & = {a^3} - {b^3} \cr}$

Vậy ${a^3} - {b^3} = {\left( {a - b} \right)^3} + 3ab\left( {a - b} \right)$

Áp dụng:

Với $ab = 6, a + b = -5$, ta được:

$\eqalign{ & {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { - 5} \right)^3} - 3.6.\left( { - 5} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 125 + 90 = - 35 \cr}$

HocTot.Nam.Name.Vn