Bài 3 trang 88 SGK Hình học 10

LG a

Elip đi qua các điểm $M(0; 3)$ và $N( 3; \dfrac{-12}{5}).$

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Thay tọa độ các điểm M, N thuộc ellip vào phương trình ellip để tìm a và b

Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Elip đi qua $M(0; 3)$

$\dfrac{0^{2}}{a^{2}} + \dfrac{3^{2}}{b^{2}}= 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1$ $\Rightarrow   b^2= 9$

Elip đi qua $N( 3; \dfrac{-12}{5})$

$\dfrac{3^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}}$ $\Rightarrow  a^2= 25$

Phương trình chính tắc của elip là : $\dfrac{x^{2}}{25}  + \dfrac{y^{2}}{9} = 1$

LG b

Một tiêu điểm là $F_1( -\sqrt3; 0)$ và điểm $M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})$ nằm trên elip.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+) Từ tiêu điểm F ta suy ra được c.

+) Sử dụng công thức $c^2=a^2-b^2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow  - c =  - \sqrt 3$ $\Leftrightarrow c = \sqrt 3$ $\Rightarrow    c^2= 3$

Elip đi qua điểm $M(1; \dfrac{\sqrt{3}}{2})$

$\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1$ $\Rightarrow   \dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{3}{4b^{2}}= 1$  (1)

Mặt khác:  $c^2=a^2-b^2$

$\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3$

Thế vào (1) ta được : $\dfrac{1}{b^{2}+ 3} + \dfrac{3}{4b^{2}} = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2} + 3{b^2} + 9}}{{4{b^4} + 12{b^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\\ \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {b^2} = 1\left( {TM} \right)\\ {b^2} =  - \dfrac{9}{4}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow {a^2} = {b^2} + 3 = 1 + 3 = 4 \end{array}$

Phương trình chính tắc của elip là : $\dfrac{x^{2}}{4}  + \dfrac{y^{2}}{1}= 1$

HocTot.Nam.Name.Vn