Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11

LG a

Tìm tọa độ của các điểm $A', B'$ theo thứ tự là ảnh của $A, B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow v \left( {a;b} \right)$ biến điểm $M(x;y)$ thành điểm $M'(x';y')$. Khi đó $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' - x = a \hfill \cr y' - y = b \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' = x + a \hfill \cr y' = y + b \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $A'=(x'; y')$. Khi đó

$T_{\vec{v}} (A) = A'$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' - 3 = - 1\\ y' - 5 = 2 \end{array} \right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.$  $\Rightarrow A' = (2;7)$

${T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) = B'$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow v$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' - \left( { - 1} \right) = - 1\\ y' - 1 = 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = - 1 - 1\\ y' = 1 + 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = - 2\\ y' = 3 \end{array} \right.$ $\Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right)$

LG b

Tìm tọa độ của điểm $C$ sao cho $A$ là ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${T_{\overrightarrow v }}\left( C \right) = A$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow v$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_A} - {x_C} = - 1\\ {y_A} - {y_C} = 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = {x_A} + 1\\ {y_C} = {y_A} - 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 3 + 1 = 4\\ {y_C} = 5 - 2 = 3 \end{array} \right.$ $\Rightarrow C\left( {4;3} \right)$

Cách khác

Ta có $A = T_{\vec{v}} (C)$ ⇔ $C= T_{-\vec{v}} (A)$ (với $- \overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)$)

$\Rightarrow \left\{ \matrix{x' = 3 + 1 = 4 \hfill \cr y' = 5 - 2 = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( {4;3} \right)$

LG c

Tìm phương trình của đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$

Phương pháp giải:

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi $M(x;y)$ bất kì thuộc $d$, $M' = T_{\vec{v}}(M) =(x'; y')$ nên $M'$ thuộc $d'.$

Khi đó 

$M' = T_{\vec{v}}(M)$ $⇔  \left\{ \matrix{x' = x - 1 \hfill \cr y' = y + 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x' + 1 \hfill \cr y = y' - 2 \hfill \cr} \right.$

Ta có $M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0$$⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0$ $⇔ x' -2y' +8=0$

$⇔ M' ∈ d'$ có phương trình $x-2y+8=0$.

Vậy $T_{\vec{v}}(d) = d':\,\, x-2y+8=0$

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi $T_{\vec{v}}(d) =d'$.

Khi đó $d'$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình của nó có dạng $x-2y+C=0$.

Lấy một điểm thuộc $d$ chẳng hạn $B(-1;1)$, khi đó gọi $B' = {T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = - 1 - 1 = - 2 \hfill \cr y' = 1 + 2 = 3 \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right) \in d'$

$\Rightarrow  - 2 - 2.3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 8$

Vậy phương trình đường thẳng $\left( {d'} \right):\,\,x - 2y + 8 = 0$.

 HocTot.Nam.Name.Vn