Bài 3 trang 49 SGK Đại số 10

LG a

Đi qua hai điểm $M(1; 5)$ và $N(- 2; 8)$;

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm $M, N$ vào phương trình parabol.

Giải hệ phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết:

+ Parabol $y = a{x^2} + bx + 2$ đi qua $M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right)$

$\Rightarrow 5 = a{.1^2} + b.1 + 2$ $\Leftrightarrow 5 = a + b + 2$ $\Leftrightarrow a + b = 3$ (1)

+ Parabol $y = a{x^2} + bx + 2$ đi qua $N(–2; 8)$

$\Rightarrow \;8 = a.{\left( {-2} \right)^2}\; + {\rm{ }}b.\left( {-2} \right) + {\rm{ }}2$ $\Rightarrow 8 = 4a - 2b + 2$ $\Rightarrow \;4a--2b = 6{\rm{ }}\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ 4a-2b=6 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.$

Parabol có phương trình là: $y = 2x^2 + x + 2$.

LG b

Đi qua điểm $A(3;- 4)$ và có trục đối xứng là $x=-\frac{3}{2}.$

Phương pháp giải:

Trục đối xứng của parabol là: $x=-\frac{b}{2a}$ suy ra một phương trình.

Thay tọa độ của $A$ vào ta được một phương trình nữa.

Giải hệ ta được $a, b$.

Lời giải chi tiết:

+ Parabol $y = a{x^2} + bx + 2$ đi qua điểm $A(3; –4)$

$\Rightarrow  - 4 = a{.3^2} + b.3 + 2{\rm{ }} \Rightarrow  - 4 = 9a + 3b + 2$

$\Rightarrow \;9a + 3b = -6{\rm{ }}\left( 1 \right)$

+ Parabol có trục đối xứng là $x=-\frac{3}{2}$ nên ta có:

$-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow 2b = 6a \Leftrightarrow 6a - 2b = 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} 9a + 3b = - 6\\ 6a - 2b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{1}{3}\\ b = - 1 \end{array} \right.$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2$.

LG c

Có đỉnh là $I(2;- 2)$;

Phương pháp giải:

Đỉnh của parabol là: $\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Parabol có đỉnh $I(2;- 2)$ nên parabol đi qua $I$

$\Rightarrow  - 2 = a{.2^2} + b.2 + 2$ $\Rightarrow  - 2 = 4a + 2b + 2$

$\Rightarrow 4a + 2b =  - 4$ (1)

Parabol có đỉnh $I(2;- 2)$ nên $-\frac{b}{2a}=2$

$\Leftrightarrow  - b = 4a \Leftrightarrow 4a + b = 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} 4a + 2b = - 4\\ 4a + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 4 \end{array} \right.$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = x^2- 4x + 2$.

Cách khác:

Parabol $y = a{x^2}\; + {\rm{ }}bx + 2$ có đỉnh $I(2 ; –2)$, suy ra :

$\begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\,\,\left( 1 \right)\\ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2 \Leftrightarrow \Delta  = 8a\\ \Rightarrow {b^2} - 4a.2 = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} - 8a = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} = 16a\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ $\left( 1 \right){\rm{ }} \Rightarrow {b^2}\; = 16.{a^2}$, thay vào (2) ta được

$16{a^2}\; = {\rm{ }}16a\;$ $\Leftrightarrow 16{a^2} - 16a = 0$ $\Leftrightarrow 16a\left( {a - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\left( {loai} \right)\\a = 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Với $a = 1$ thì $b =  - 4.1{\rm{ }} = -4.$.

Vậy parabol cần tìm là $y = {\rm{ }}{x^2}-4x + 2.$

LG d

Đi qua điểm $B(- 1; 6)$ và tung độ của đỉnh là $-\frac{1}{4}.$

Phương pháp giải:

Trục đối xứng của parabol là: $x=-\frac{b}{2a}.$

Đỉnh của parabol là: $\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Lời giải chi tiết:

+ Parabol $y = a{x^2}\; + {\rm{ }}bx + 2$ đi qua điểm $B(–1 ; 6)$

$\Rightarrow {\rm{ }}6 = a.{\left( {-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}b.\left( {-1} \right) + 2$ $\Rightarrow 6 = a - b + 2$

$\Rightarrow {\rm{ }}a - b = 4{\rm{ }}\left( 1 \right)$

+ Parabol có tung độ của đỉnh là $-\frac{1}{4}$ nên ta có:

${ - \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 4\Delta  = 4a \Leftrightarrow \Delta  = a$ $\Leftrightarrow {b^2} - 4a.2 = a \Leftrightarrow {b^2} - 8a = a$

$\Leftrightarrow {b^2} = 9a$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a - b = 4\\ {b^2} =9a \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4 + b\\ {b^2} - 9a = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4 + b\\ {b^2} - 9\left( {4 + b} \right) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4 + b\\ {b^2} - 9b - 36 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b =  - 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 16\\ b = 12 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$

Phương trình parabol cần tìm là: $y = 16x^2+ 12x + 2$ hoặc $y = x^2- 3x + 2$.

HocTot.Nam.Name.Vn