Bài 3 trang 49 SGK Đại số 10

LG a

Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\);

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm \(M, N\) vào phương trình parabol.

Giải hệ phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết:

+ Parabol \(y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right)\)

\(\Rightarrow 5 = a{.1^2} + b.1 + 2 \) \(\Leftrightarrow 5 = a + b + 2 \) \(\Leftrightarrow a + b = 3\) (1)

+ Parabol \(y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua \(N(–2; 8)\)

\( \Rightarrow \;8 = a.{\left( {-2} \right)^2}\; + {\rm{ }}b.\left( {-2} \right) + {\rm{ }}2\) \( \Rightarrow 8 = 4a - 2b + 2\) \( \Rightarrow \;4a--2b = 6{\rm{ }}\left( 2 \right).\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ 4a-2b=6 \end{matrix}\right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\)

Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\).

LG b

Đi qua điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}.\)

Phương pháp giải:

Trục đối xứng của parabol là: \(x=-\frac{b}{2a}\) suy ra một phương trình.

Thay tọa độ của \(A\) vào ta được một phương trình nữa.

Giải hệ ta được \(a, b\).

Lời giải chi tiết:

+ Parabol \(y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua điểm \(A(3; –4)\)

\( \Rightarrow  - 4 = a{.3^2} + b.3 + 2{\rm{ }} \Rightarrow  - 4 = 9a + 3b + 2\)

\( \Rightarrow \;9a + 3b = -6{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

+ Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có:

\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow 2b = 6a \Leftrightarrow 6a - 2b = 0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
9a + 3b = - 6\\
6a - 2b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{1}{3}\\
b = - 1
\end{array} \right.\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\).

LG c

Có đỉnh là \(I(2;- 2)\);

Phương pháp giải:

Đỉnh của parabol là: \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol đi qua \(I\)

\( \Rightarrow  - 2 = a{.2^2} + b.2 + 2 \) \(\Rightarrow  - 2 = 4a + 2b + 2 \)

\(\Rightarrow 4a + 2b =  - 4\) (1)

Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên \( -\frac{b}{2a}=2\)

\( \Leftrightarrow  - b = 4a \Leftrightarrow 4a + b = 0\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
4a + 2b = - 4\\
4a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 4
\end{array} \right.\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\).

Cách khác:

Parabol \(y = a{x^2}\; + {\rm{ }}bx + 2\) có đỉnh \(I(2 ; –2)\), suy ra :

\(\begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4a\,\,\left( 1 \right)\\ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 2 \Leftrightarrow \Delta  = 8a\\ \Rightarrow {b^2} - 4a.2 = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} - 8a = 8a\\ \Leftrightarrow {b^2} = 16a\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right){\rm{ }} \Rightarrow {b^2}\; = 16.{a^2}\), thay vào (2) ta được

\(16{a^2}\; = {\rm{ }}16a\;\) \( \Leftrightarrow 16{a^2} - 16a = 0\) \( \Leftrightarrow 16a\left( {a - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\left( {loai} \right)\\a = 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Với \(a = 1\) thì \(b =  - 4.1{\rm{ }} = -4.\).

Vậy parabol cần tìm là \(y = {\rm{ }}{x^2}-4x + 2.\)

LG d

Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\)

Phương pháp giải:

Trục đối xứng của parabol là: \(x=-\frac{b}{2a}.\)

Đỉnh của parabol là: \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

+ Parabol \(y = a{x^2}\; + {\rm{ }}bx + 2\) đi qua điểm \(B(–1 ; 6)\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}6 = a.{\left( {-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}b.\left( {-1} \right) + 2\) \( \Rightarrow 6 = a - b + 2\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}a - b = 4{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

+ Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có:

\({ - \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4} \) \( \Leftrightarrow 4\Delta  = 4a \Leftrightarrow \Delta  = a \) \(\Leftrightarrow {b^2} - 4a.2 = a \Leftrightarrow {b^2} - 8a = a \)

\(\Leftrightarrow {b^2} = 9a\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a - b = 4\\
{b^2} =9a
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9a = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9\left( {4 + b} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9b - 36 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 16\\
b = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\).

HocTot.Nam.Name.Vn