Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với \(k \ge 2\).

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) với \(k \ge 2\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({u_{k - 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d\)

\({u_k} = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} + kd\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d + {u_1} + kd = 2{u_1} + \left( {2k - 2} \right)d\) \( = 2\left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] = 2{u_k}\)

Suy ra: \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).

b) Ta có: \({u_{k - 1}} = {u_1} \times {q^{k - 2}}\)

\({u_k} = {u_1} \times {q^{k - 1}}\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} \times {q^k}\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} \times {u_{k + 1}} = \left( {{u_1} \times {q^{k - 2}}} \right) \times \left( {{u_1} \times {q^k}} \right) = u_k^2.{q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1}.{q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\) (đpcm).