Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 4x + 5\) tại điểm \({x_0} =  - 2\).

b) \(y = {\log _3}(2x + 1)\) tại điểm \({x_0} = 3\).

c) \(y = {e^{4x + 3}}\) tại điểm \({x_0} = 1\).

d) \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\).

e) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\) tại điểm \({x_0} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(y' = 6x - 4 \Rightarrow y'' = 6\).

Tại \({x_0} =  - 2 \Rightarrow y''( - 2) = 6\).

b)

\(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)'}}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}\)

\(\Rightarrow y'' = \left( {2.\frac{1}{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}}} \right)' =  - 2.\frac{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\)

\(=  - 2\frac{{2\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\).

Tại \({x_0} = 3 \Rightarrow y''(3) = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2.3 + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {7\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{49\ln 3}}\).

c) \(y' = 4{e^{4x + 3}} \Rightarrow y'' = 16{e^{4x + 3}}\).

Tại \({x_0} = 1 \Rightarrow y''(1) = 16.{e^{4.1 + 3}} = 16.{e^7}\).

d)\(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow y'' =  - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Tại \({x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 2\sqrt 3 \).

e) \(y' =  - 3.\sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow y'' =  - 9.\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Tại \({x_0} = 0 \Rightarrow y''(0) =  - 9.\cos \left( {3.0 - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 9\sqrt 3 }}{2}\).