Bài 2 trang 13 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa $\left( {a > 0} \right)$:

a) $3.\sqrt 3 .\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}$;

b) $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } }$;

c) $\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}}{{{{\left( {\sqrt[5]{a}} \right)}^3}.{a^{\frac{2}{5}}}}}$.

Lời giải chi tiết

a) $3.\sqrt 3 .\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3} = {3.3^{\frac{1}{2}}}{.3^{\frac{1}{4}}}{.3^{\frac{1}{8}}} = {3^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}} = {3^{\frac{{15}}{8}}}$

b) $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } }  = \sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{2}}}} }  = \sqrt {a\sqrt {{a^{1 + \frac{1}{2}}}} }  = \sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} }  = \sqrt {a.{a^{\frac{3}{4}}}}  = \sqrt {{a^{1 + \frac{3}{4}}}}  = \sqrt {{a^{\frac{7}{4}}}}  = {a^{\frac{7}{8}}}$

c) $\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}}{{{{\left( {\sqrt[5]{a}} \right)}^3}.{a^{\frac{2}{5}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{4}}}}}{{\sqrt[5]{{{a^3}}}.{a^{\frac{2}{5}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}}}}{{{a^{\frac{3}{5}}}.{a^{\frac{2}{5}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{3}{5} + \frac{2}{5}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}}{a} = {a^{\frac{{13}}{{12}} - 1}} = {a^{\frac{1}{{12}}}}$