Bài 18 trang 80 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

a) Chứng minh $AO \bot BC$ .

b) Giả sử $AB = R\sqrt 3$, AO cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại I. Chứng minh tam giác ABC đều và tính độ dài AH.

c) Vẽ dây IE // AC, IF // AB (E, F là các điểm trên đường tròn O). Chứng minh tam giác IEF cân.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì tam giác ABC cân tại A$\Rightarrow AB = AC \Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của BC.

Vì $OB = OC = R \Rightarrow O$ thuộc đường trung trực của BC.

$\Rightarrow AO$ là trung trực của BC $\Rightarrow AO \bot BC$.

b) Xét tam giác ABI có $BO = \dfrac{1}{2}AI \Rightarrow \Delta ABI$ vuông tại B (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông ABI có: $B{I^2} = A{I^2} - A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {\left( {R\sqrt 3 } \right)^2} - {R^2}$

$\Rightarrow BI = R$ (Định lí Pytago).

Tam giác ABC cân tại A có $AO \bot BC \Rightarrow AI \bot BC$ tại H và H là trung điểm của BC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABI có :

$\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{I^2}}} = \dfrac{1}{{3{R^2}}} + \dfrac{1}{{{R^2}}} = \dfrac{4}{{3{R^2}}}$

$\Rightarrow BH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Vì H là trung điểm của BC$\Rightarrow BC = 2BH = R\sqrt 3  \Rightarrow \Delta ABC$ có $AB = AC = BC = R\sqrt 3  \Rightarrow \Delta ABC$ đều $\Rightarrow \widehat {ABH} = {60^0}$.

Xét tam giác vuông ABH có : $AH = AB.\sin {60^0} = R\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3R}}{2}$.

c) Ta có $CO = \dfrac{1}{2}AI \Rightarrow \Delta ACI$vuông tại C (Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACI có :

$CI = \sqrt {A{I^2} - A{C^2}}$$\;= \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt {{R^2}}  = R$

 $\Rightarrow BI = CI = R \Rightarrow cung\,BI = cung\,CI$

Vì IE // AC $\Rightarrow cung\,AE = cung\,CI$. Vì IF // AB $\Rightarrow cung\,AF = cung\,BI$

Do đó $cung\,AE = cung\,AF \Rightarrow cung\,IE = cung\,IF$

$\Rightarrow IE = IF \Rightarrow \Delta IEF$ cân tại I.

 HocTot.Nam.Name.Vn