Bài 16 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

LG a,b

Cho $\overrightarrow u (2; - 1;1),\overrightarrow v (m;3; - 1),\overrightarrow {\rm{w}} (1;2;1).$

Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  2 \hfill \cr  m \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  2 \hfill \cr  m \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = ( - 2;m + 2;m + 6).  \cr  & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}}  =  - 2 + 2m + 4 + m + 6 = 3m + 8. \cr}$

$\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\overrightarrow {\rm{w}}  = 0 \Leftrightarrow 3m + 8 = 0 \Leftrightarrow m =  - {8 \over 3}.$

$b)\;m \ne 1$ và $m \ne 9.$

LG c

Cho $\overrightarrow u (1;1;2),\overrightarrow v ( - 1;3;1).$ Tìm vec tơ đơn vị đồng phẳng với $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ và tạo với $\overrightarrow u$ góc 45⁰.

Lời giải chi tiết:

Gọi vec tơ phải tìm là $\overrightarrow {\rm{w}} (x;y;z).$

Theo giả thiết $\left| {\overrightarrow {\rm{w}} } \right| = {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$

$\eqalign{  & \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \cos {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr&\Rightarrow {{x + y + 2z} \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr  &  \Rightarrow x + y + 2z = \sqrt 3 . \cr}$

Mặt khác $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}}$ đồng phẳng nên $\overrightarrow {\rm{w}}  = k\overrightarrow u  + l\overrightarrow v .$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{  x = k - l \hfill \cr  y = k + 3l \hfill \cr  z = 2k + l \hfill \cr}  \right. \Rightarrow 5x + 3y - 4z = 0.$

Vậy ta có hệ phương trình :

$\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \hfill \cr  x + y + 2z = \sqrt 3  \hfill \cr  5x + 3y - 4z = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = 5z - {{3\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr  y = {{5\sqrt 3 } \over 2} - 7z \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow 150{z^2} - 100\sqrt 3 z + 49 = 0  \cr  &  \Rightarrow z = {{(10 \pm \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}} \Rightarrow x = {{\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6},\cr&y = {{\left( {5 \pm 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}}. \cr}$

Kết luận : Có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán :

$\left( {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left( {5 - 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 + \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}}} \right)$

$\left( {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left( {5 + 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 - \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}}} \right)$

HocTot.Nam.Name.Vn