Bài 13 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bên $AA' = a$, đáy $ABCD$ là hình thoi có $AB = BD = a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt đáy trùng với điểm $O$ là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải chi tiết

$AB = B{\rm{D}} = A{\rm{D}} = a \Rightarrow \Delta ABD$ đều$\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^ \circ }$

$O$ là trung điểm của $BD$$\Rightarrow AO = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AO\\ \Rightarrow A'O = \sqrt {AA{'^2} - A{O^2}}  = \frac{a}{2}\end{array}$

${S_{ABC{\rm{D}}}} = AB.A{\rm{D}}.\sin \widehat {BA{\rm{D}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABC{\rm{D}}}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$