Bài 10 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = 12 cm$, $AD = 16 cm$, $AA’ = 25 cm$.

a) Chứng minh các tứ giác $ACC’A’$, $BDD’B’$ là những hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng $AC'{^2} = A{B^2} + A{D^2} + AA'{^2}$.

c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác $ACC'A'$ có:

$AA' // CC'$ và $AC // A'C'$ (do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật)

Vậy $ACC'A'$ là hình bình hành (1)

Ta có:  

$\begin{array}{l} AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C'\\ \Rightarrow \widehat {AA'C'} = {90^0}\left( 2 \right) \end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $ACC'A'$ là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự suy ta tứ giác $BDD'B'$ là hình chữ nhật.

b) Trong tam giác vuông $ACC'$, áp dụng định lí Pitago có:

$AC'{^2} = A{C^2} + CC'{^2} =A{C^2} + AA'{^2}$ (vì $CC'=AA')$

Trong tam giác vuông $ABC$, áp dụng định lí Pitago có:

$A{C^2} =A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}$ (vì $BC=AD)$

Do đó: $AC'{^2} = A{B^2} + A{{\rm{D}}^2} + AA'{^2}$ 

c) Hình hộp chữ nhật được xem như hình lăng trụ đứng.

Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = 2ph = 2\left( {AB + AD} \right).AA'$$\,=2(12 + 16)25 = 1400 (cm^2)$

Diện tích một đáy: $S_đ= AB . AD = 12. 16 = 192 (cm^2)$

Diện tích toàn phần: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_đ}$$\,=1400 + 2.192 = 1784\, (cm^2)$

Thể tích: $V= abc = AB.AD.AA’ = 12. 16. 25$$\,= 4800\; c{m^3}$

HocTot.Nam.Name.Vn