Lý thuyết tính chất ba đường phân giác của một góc

I. Kiến thức cơ bản

1. Định lí 1 (thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

GT : $M \in Oz$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$

        $MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy$

 KL: $MA = MB$

2. Định lý 2 (đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.

GT : $M$ ở trong $\widehat {xOy}$

$MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy$

$MA=MB$

KL: $OM$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$

Nhận xét:

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

3. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

$\Delta ABC:$ $\left. \begin{array}{l}AB = AC\\\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\end{array} \right\} \Rightarrow BD = DC$

Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tam giác $ABC$ (hình vẽ) có ba đường phân giác giao nhau tại $I$. Khi đó

$\begin{array}{l}{\widehat A_1} = {\widehat A_2},{\widehat B_1} = {\widehat B_2},{\widehat C_1} = {\widehat C_2}.\\ID = IE = IF\end{array}$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất:

+ Ta sử dụng định lý: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

$\left. \begin{array}{l}M \in Oz\\MA \bot Ox;MB \bot Oy\end{array} \right\}$$\Rightarrow MA = MB$

+  Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong một tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba

+  Giao điểm các đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Dạng 3: Chứng minh tia phân giác của một góc

Phương pháp:

Ta sử dụng một trong các cách sau:

- Sử dụng định lý: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

- Sử dụng định nghĩa phân giác

- Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai tam giác bằng nhau

Dạng 4: Bài toán về đường phân giác với các tam giác đặc biệt  (tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

Ta sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.