Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng \(y = {a^x}\), hàm số lôgarit là hàm số có dạng  \(y = {\log _a}x\) ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ \(y = {a^x}\) \(( a > 0, a\ne 1)\).

- Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

- Đạo hàm: \(∀x ∈\mathbb{R},y'= a^x \ln a\).

- Chiều biến thiên          

+) Nếu \(a> 1\) thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục \(Ox\) là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành  \((y = {a^x} >0 \, \forall x)\), và luôn cắt trục tung tại điểm \(( 0;1)\) và đi qua điểm \((1;a)\).

3. Tính chất của hàm số lôgarit \(y = {\log _a}x\) \((a> 0, a\ne1)\).

- Tập xác định: \((0; +∞)\).

- Đạo hàm \(∀x ∈ (0; +∞),y'= \dfrac{1}{x\ln a}\).

- Chiều biến thiên:  

+) Nếu \(a> 1\) thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục \(Oy\) là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điểm \((a;1)\).

4. Chú ý 

- Nếu \(a > 1\) thì \(\ln a > 0\), suy ra \((a^x)'>0 \, \, \forall x\) và \({({\log_a}^x)}\; > 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;\) 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu \(0 < a< 1\) thì \(\ln a < 0\), \(({a^x})' < 0\) và \({({\log_a}^x)}\; < 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;\) ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

\( (\ln  |x|)'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0\) và \((\log _a|x|)' = \frac{1}{{x\ln a}},{\rm{ }}\forall x \ne 0.\)

5. Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit

Bài 1. Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(a > 1\).

B. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nghịch biến nếu \(0 < a < 1\).

C. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(0 < a < 1\).

D. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) luôn nghịch biến trên \(R\).

Lời giải: Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

\(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).

Chọn đáp án C.

Bài 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) trùng với đồ thị hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) 

B. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) trùng với đồ thị hàm số \(y = {2^{ - x}}\).

C. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) qua trục hoành

D. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) qua trục tung.

Lời giải: Ta có: \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}\) nên hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) là một. Do đó chúng có chung đồ thị.

Chọn đáp án A.

Bài 3. Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?

A. \(y = {2^{ - x}}\)        

B. \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\)

C. \(y =  - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x}\)

D. \(y =  - {2^x}\)

Lời giải: Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.

Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.

Chọn đáp án C.

Bài 4. Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là

A. \(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}\)

B. \(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2\)

C. \(\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)

D. \(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)

Lời giải: Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$

Chọn đáp án B.

Bài 5. Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số \(y = \log x\). Tìm khẳng định đúng? 

A. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng

B. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị $(C)$ cắt trục tung.

D. Đồ thị $(C)$ không cắt trục hoành.

Lời giải:

- Đồ thị hàm số \(y = \log x\) nhận trục tung là tiệm cận đứng.

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ nên các đáp án B,C,D đều sai

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\), khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({\log _b}a + {\log _a}b < 0\)            

B. \({\log _b}a > 1\)        

C. \({\log _a}b > 0\)

D. \({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\)

Lời giải: Ta có: \(0 < a < 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến, do đó \(b > 1\) nên \({\log _a}b < {\log _a}1 = 0\).

Vì \(b > 1\) nên hàm số \(y = {\log _b}x\) đồng biến, do đó \(a < 1\) nên \({\log _b}a < {\log _b}1 = 0\).

Vậy \({\log _a}b < 0;{\log _b}a < 0 \Rightarrow {\log _a}b + {\log _b}a < 0\).

Chọn đáp án A.

Bài 7. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} \right)\).

A. \(D = ( - \infty ;1)\)     

B. \(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)              

C. \(D = ( - \infty ;1]\)                         

D. \(D = (1; + \infty )\)

Lời giải: Điều kiện : \(\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}} > 0 \Leftrightarrow 2 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 1.\)

Chọn đáp án D.

Bài 8. Đạo hàm hàm số \(y = {\log _{2018}}\left( {2018x + 1} \right)\) là:

A. \(\dfrac{1}{{x\ln 2018}}\)       

B. \(\dfrac{{2018}}{{2018\left( {x + 1} \right)\ln 2018}}\)

C. \(\dfrac{1}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}\)

D. \(\dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}\)

Lời giải: Ta có:

\(\left[ {{{\log }_{2018}}\left( {2018x + 1} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {2018x + 1} \right)'}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}} = \dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}\)

Chọn đáp án D.