Lý thuyết đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa tỉ lệ nghịch

Ví dụ: Nếu $y = \dfrac{2}{x}$ thì $y$  tỉ lệ nghịch với $x$  theo hệ số tỉ lệ là $2.$

Chú ý: Khi $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, ta cũng nói $x$ tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp:

+ Xác định hệ số tỉ lệ $a.$

+ Dùng công thức $y = \dfrac{a}{x}$ hoặc $x = \dfrac{a}{y}$  để tìm các giá trị tương ứng của $x$ và $y.$

Dạng 2: Xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng các giá trị tương ứng của chúng

Phương pháp:

Xét xem tất cả các tích các giá trị tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau không?

Nếu bằng nhau thì hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu không bằng nhau thì hai đại lượng không tỉ lệ nghịch.

Dạng 3: Bài toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch

Phương pháp:

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Dạng 4: Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $M$  thành ba phần $x;y;z$ tỉ lệ nghịch với các số $a,b,c$ cho trước. Ta có

$ax = by = cz$ hay $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{a}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{b}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{c}}}.$

Như vậy để chia số $M$  thành các phần tỉ lệ nghịch với các số $a,b,c$ (khác $0$), ta chỉ cần chia số $M$  thành các phần tỉ lệ thuận với các số $\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}$  (đã biết cách làm).

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Khi có $y = \dfrac{a}{x}$ ta nói:

A. $y$ tỉ lệ với $x$

B. $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$

C. $y$ tỉ lệ thuận với $x$

D. $x$ tỉ lệ thuận với $y$

Lời giải

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$  theo hệ số tỉ lệ $a.$ 

Đáp án B

Câu 2. Cho $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và $y = \dfrac{a}{x}$. Gọi ${x_1};{x_2};{x_3};...$ là các giá trị của $x$ và ${y_1};{y_2};{y_3};...$ là các giá trị tương ứng của $y$. Ta có

A. ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = \dfrac{1}{a}$

B. $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = a$

C. ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

D. $\dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = a$

Lời giải

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a$  thì:

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

$\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...$

Đáp án C

Câu 3. Cho bảng sau:

Khi đó:

A. $y$ tỉ lệ với $x$.

B. $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

C. $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

D. $y$ và $x$ là hai đại lượng bất kì.

Lời giải

Xét các tích giá trị của $x$ và $y$ ta được: $10.10 = 20.5$ $= 25.4 = 30.\dfrac{{10}}{3}$ $= 40.2,5 = 100$.

Nên $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Đáp án C

Câu 4. Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch $x$ và $y$; ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai giá trị của $x$; ${y_1}$ và ${y_2}$ là hai giá trị tương ứng của $y$. Biết ${x_1} = 4,{x_2} = 3$ và ${y_1} + {y_2} = 14$. Khi đó ${y_2} = ?$

A. ${y_2} = 5$

B. ${y_2} = 7$

C. ${y_2} = 6$

D. ${y_2} = 8$

Lời giải

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_1} = 4,{x_2} = 3$ và ${y_1} + {y_2} = 14$

Do đó $4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: $\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2$

Do đó $\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6$; $\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8$

Vậy ${y_2} = 8.$

Đáp án D

Câu 5. Cho biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo tỉ số ${k_1}\left( {{k_1} \ne 0} \right)$ và $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo tỉ số ${k_2}\left( {{k_2} \ne 0} \right)$. Chọn câu đúng.

A. $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}$

B. $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{{k_2}}}{{{k_1}}}$

C. $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ ${k_1}.{k_2}$

D. $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}$

Lời giải

Vì $y$tỉ lệ nghịch với $x$ theo tỉ số ${k_1}\left( {{k_1} \ne 0} \right)$ nên $y = \dfrac{{{k_1}}}{x}$.

Và $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo tỉ số ${k_2}\left( {{k_2} \ne 0} \right)$ nên $x = \dfrac{{{k_2}}}{z}$.

Thay $x = \dfrac{{{k_2}}}{z}$ vào $y = \dfrac{{{k_1}}}{x}$ ta được $y = \dfrac{{{k_1}}}{{\dfrac{{{k_2}}}{z}}} = \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}z$.

Nên $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.$

Đáp án D

Câu 6. Để hoàn thành một công việc trong $8$ giờ cần 35 công nhân. Nếu có $40$công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong mấy giờ?

Lời giải

Gọi thời gian công nhân làm một công việc đó là $x\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

8 . 35 = 40.x $\Rightarrow 280 = 40.x \Rightarrow x = 7$(giờ) ( thỏa mãn)

Vậy nếu có $40$công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 7 giờ.

Câu 7. Ba đội máy cày, cày trên ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong $4$ ngày, đội thứ hai trong $7$ ngày và đội thứ $3$ trong $9$ ngày. Hỏi đội thứ nhất có bao nhiêu máy cày, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai là $3$ máy và công suất của các máy như nhau?

Lời giải

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$.

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: $x.4 = y.7 = z.9$ và $x - y = 3$

Suy ra $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{4}$ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{x - y}}{{7 - 4}} = \dfrac{3}{3} = 1$

Do đó $x = 7;y = 4$ .

Vậy đội thứ nhất có $7$ máy.

Câu 8. Hai xe ô tô cùng đi từ A đến B. Biết vận tốc của ô tô thứ nhất bằng 60% vận tốc của ô tô thứ hai và thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B nhiều hơn thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là 4 giờ. Tính thời gian xe thứ hai đi từ A đến B.

Lời giải

Gọi ${v_1};{v_2}$ lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai (km/giờ)  $\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)$

Gọi ${t_1};{t_2}$ lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai (giờ) $\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)$

Từ đề bài ta có ${v_1} = \dfrac{{60}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{3}{5}{v_2}$ và ${t_1} = {t_2} + 4$

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có

${v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2} \Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}\left( {{t_2} + 4} \right) = {v_2}.{t_2}$ $\Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}.{t_2} + \dfrac{{12}}{5}{v_2} = {v_2}.{t_2}$

$\Rightarrow 12{v_2} = 2{v_2}{t_2}$ mà ${v_2} > 0$ nên ${t_2} = \dfrac{{12{v_2}}}{{2{v_2}}} = 6$ ( thỏa mãn)

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là 6 giờ.