Lý thuyết cấp số nhân

1. Định nghĩa

\(u_n\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}= u_n.q\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

Công bội \(q = \dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}\).

Ví dụ:

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({u_2}\).

Ta có: \({u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15\).

2. Số hạng tổng quát

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} ,(n ≥ 2)\)

Ví dụ:

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({u_5}\).

Ta có:

\({u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405\).

3. Tính chất

\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) hay \(|{u_k}| = \sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}},\) với \(k ≥ 2\) 

Ví dụ:

Cho bốn số \(x;\,5;\,25;\,y\) theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm \(x,\,y\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\)

Vậy \(x = 1,y = 125\).

4. Tổng n số hạng đầu 

\({S_n} = \dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}\) \(= \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\), \((q ≠ 1)\).

Ví dụ:

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({S_{10}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\end{array}\)

5. Bài tập về cấp số nhân

Bài 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. $q = - 4\,.$

B. $q = 4.$

C. $q = - 12.$

D. $q = 10.$

Lời giải: Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\).

Chọn đáp án A

Bài 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${u_3} = 12.\,\,\,\,$

B. ${u_3} = - 12.$

C. ${u_3} = 16.$

D. ${u_3} = - 16.$

Lời giải: Ta có:

\({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)

Chọn đáp án A.

Bài 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${S_5} = - 512$

B. ${u_5} = 256$

C. ${u_5} = - 512$

D. $q = 4$

Lời giải: Ta có:

${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$

Do đó \({u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left( { - 4} \right)^4} = - 512\).

\({S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} = - 410\)

Chọn đáp án C.

Bài 4. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ $103$

B. số hạng thứ $104$

C. số hạng thứ $105$

D. Đáp án khác

Lời giải: Ta có:

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}} \) \(\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${u_7} = 12.$

B. ${u_7} = - 12.$

C. ${u_7} = - 2$

D. \({u_7} = 18\)

Lời giải: Ta có:

\(u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12\)

Chọn đáp án A.

Bài 6. Dãy số nào trong các dãy số sau không phải là cấp số nhân:

A. \({u_n} = {5^n}\)

B. \({u_n} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{n + 1}}\)

C. \({u_n} = 5n + 1\)

D. \({u_n} = {4^n}\)

Lời giải: Ta có:

\({u_n} = {5^n}\) nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi \(\forall n \ge 1\) .

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {5^n}\) là cấp số nhân.

Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.

Ta có:

\({u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}\) nên ${u_{n + 1}} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 2}} = ( - \sqrt 3 ){u_n} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = ( - \sqrt 3 )$ không đổi \(\forall n \ge 1\) .

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}\) là cấp số nhân.

Ta có:

\({u_n} = 5n + 1\) nên \({u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 \Rightarrow \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

Chọn đáp án C.

Bài 7. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .

A. \({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

B. \({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

C. \({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

D. \({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

Lời giải: Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)

\(\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)

Chọn đáp án B.

Bài 8. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

A. ${190^0}$

B. ${191^0}$

C. ${192^0}$

D. ${193^0}$

Lời giải: Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử \(A < B < C < D\).

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

\(\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}\)

Chọn đáp án C.