Giải mục 3 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạoCho hai hàm số y=f(x)=1x−1 và y=g(x)=√4−x. Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 3 Cho hai hàm số y=f(x)=1x−1 và y=g(x)=√4−x. a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho. b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích. Phương pháp giải: a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu khác 0 và biểu thức trong căn không âm. b) Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định. Lời giải chi tiết: a) • y=f(x)=1x−1 ĐKXĐ: x−1≠0⇔x≠1 Vậy hàm số có tập xác định: D=R∖{1}. • y=g(x)=√4−x ĐKXĐ: 4−x≥0⇔x≤4 Vậy hàm số có tập xác định: D=(−∞;4]. b) • Với mọi x0∈(−∞;1), ta có: lim Vậy hàm số y = f\left( x \right) liên tục tại mọi điểm {x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right). Tương tự ta có hàm số y = f\left( x \right) liên tục tại mọi điểm {x_0} \in \left( {1; + \infty } \right). Ta có: Hàm số không xác định tại điểm {x_0} = 1 \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 1}} = - \infty Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) nên không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right). Vậy hàm số y = f\left( x \right) không liên tục tại điểm {x_0} = 1. • Với mọi {x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right), ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 - x} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {4 - {x_0}} = g\left( {{x_0}} \right) Vậy hàm số y = g\left( x \right) liên tục tại mọi điểm {x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right). Ta có: g\left( 4 \right) = \sqrt {4 - 4} = 0 \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {4 - x} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x} = \sqrt {4 - 4} = 0 = g\left( 4 \right) Vậy hàm số y = g\left( x \right) liên tục tại điểm {x_0} = 4. Hàm số không xác định tại mọi {x_0} \in \left( {4; + \infty } \right) nên hàm số y = g\left( x \right) không liên tục tại mọi điểm {x_0} \in \left( {4; + \infty } \right). Vậy hàm số y = g\left( x \right) liên tục trên nửa khoảng \left( { - \infty ;4} \right]. Thực hành 3 Xét tính liên tục của hàm số y = \sqrt {{x^2} - 4} . Phương pháp giải: Để tính xét tính liên tục của hàm số, ta tìm những khoảng xác định của hàm số đó. Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right. Vậy hàm số có TXĐ: D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right). Hàm số y = \sqrt {{x^2} - 4} là hàm số căn thức nên nó liên tục trên các nửa khoảng \left( { - \infty ; - 2} \right) và \left( {2; + \infty } \right). Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{2^2} - 4} = 0 = f\left( 2 \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4} = 0 = f\left( { - 2} \right) Vậy hàm số y = \sqrt {{x^2} - 4} liên tục trên các nửa khoảng \left( { - \infty ; - 2} \right] và \left[ {2; + \infty } \right). Thực hành 4 Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.. Tìm a để hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \mathbb{R}. Phương pháp giải: Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định. Bước 2: Tính f\left( 0 \right). Bước 3: Tính giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right). Bước 4: Giải phương trình \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right). Lời giải chi tiết: Trên các khoảng \left( { - \infty ;0} \right) và \left( {0; + \infty } \right), f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x} là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \left( { - \infty ;0} \right) và \left( {0; + \infty } \right). Ta có: f\left( 0 \right) = a \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 = - 2 Để hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số y = f\left( x \right) phải liên tục tại điểm {x_0} = 0. Khi đó: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - 2. Vậy với a = - 2 thì hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \mathbb{R}. Vận dụng 2 Một hãng taxi đưa ra giá cước T\left( x \right) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau: T\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000}&{khi\,\,0 < x \le 0,7}\\{ - 10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000}&{khi{\rm{ }}0,7 < x \le 20}\\{280200 + \left( {x--20} \right).12000}&{khi{\rm{ }}x > 20}\end{array}} \right. Xét tính liên tục của hàm số T\left( x \right). Phương pháp giải: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định. Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm {x_0} = 0,7 và {x_0} = 20. Bước 4: Kết luận. Lời giải chi tiết: Hàm số T\left( x \right) xác định trên khoảng \left( {0; + \infty } \right). Hàm số T\left( x \right) xác định trên từng khoảng \left( {0;0,7} \right),\left( {0,7;20} \right) và \left( {20; + \infty } \right) nên hàm số liên tục trên các khoảng đó. Ta có: T\left( {0,7} \right) = 10000 \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} \left( {10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {0,7 - 0,7} \right).14000 = 10000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} 10000 = 10000\end{array} Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} T\left( x \right) = 10000 nên \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,7} T\left( x \right) = 10000 = T\left( {0,7} \right). Vậy hàm số T\left( x \right) liên tục tại điểm {x_0} = 0,7. Ta có: T\left( {20} \right) = 10000 + \left( {20 - 0,7} \right).14000 = 280200 \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} \left( {280200 + \left( {x - 20} \right).12000} \right) = 280200 + \left( {20 - 20} \right).12000 = 280200\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} \left( {10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {20 - 0,7} \right).14000 = 280200\end{array} Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = 280200 nên \mathop {\lim }\limits_{x \to 20} T\left( x \right) = 280200 = T\left( {20} \right). Vậy hàm số T\left( x \right) liên tục tại điểm {x_0} = 20. Vậy hàm số T\left( x \right) liên tục trên \left( {0; + \infty } \right).
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
|