Giải mục 2 trang 21, 22 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2

Giả sử Đ_O là phép đối xứng tâm O. Lấy hai điểm tùy ý A, B sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua Đ_O. So sánh tam giác OAB và tam giác O’A’B’ rồi so sánh A’B’ và AB.

Phương pháp giải:

Vẽ hình sau đó quan sát và so sánh

Lời giải chi tiết:

Theo đề, ta có ${Đ_O}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A'.$

Suy ra O là trung điểm AA’, do đó $OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OA'.$

Chứng minh tương tự, ta được $OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OB'.$

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta OA'B'$, có:

$OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OA'$  (chứng minh trên);

$\widehat {AOB} = \widehat {A'OB'}$ (đối đỉnh);

$OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OB'$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta OAB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OA'B'{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right).$

Suy ra $A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy $\Delta OAB{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OA'B'{\rm{ }}$ và $A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.$

Thực hành 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh qua Đ_O của

a) điểm M(3; –4);

b) đường thẳng d: x – 3y + 6 = 0;

c) đường tròn (C): (x + 2)² + (y – 1)² = 4.

Phương pháp giải:

Nếu $M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_I}\\{y_{M'}} + {y_M} = 2{y_I}\end{array} \right.$ (I là trung điểm của MM’)

Lời giải chi tiết:

a) Gọi M’ là ảnh của M qua Đ_O.

Suy ra O là trung điểm của MM’ với $M\left( {3;{\rm{ }}-4} \right).$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{M'}} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 + 4 = 4\end{array} \right.$

Vậy $M'\left( {-3;{\rm{ }}4} \right).$

b) • Chọn $A\left( {0;{\rm{ }}2} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Gọi A’là ảnh của A qua ${Đ_O}.$

Suy ra O là trung điểm của AA’ với A(0; 2)

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A} = 2.0 - 0 = 0\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A} = 2.0 - 2 =  - 2\end{array} \right.$

Vì vậy A’(0; –2).

• Đường thẳng $d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ có vectơ pháp tuyến ${\rm{\vec n}} = \left( {1; - 3} \right)$

Gọi d’ là ảnh của d qua ${Đ_O}.$

Suy ra d’ song song hoặc trùng với d, nên d’ nhận vectơ pháp tuyến của d là ${\rm{\vec n}} = \left( {1; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(0; –2) và nhận làm vectơ ${\rm{\vec n}} = \left( {1; - 3} \right)$ pháp tuyến nên có phương trình là:

$1\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x-3y-6 = 0.$

c) Đường tròn $\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4$ có tâm I(–2; 1), bán kính R = 2.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua Đ_O nên (C’) có tâm là ảnh của I(–2; 1) và có bán kính R’ = R = 2.

Gọi I’= Đ_O(I).

Suy ra O là trung điểm $II'.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_O} - {x_I} = 2.0 + 2 = 2\\{y_{I'}} = 2{y_O} - {y_I} = 2.0 - 1 =  - 1\end{array} \right.$

Vì vậy tọa độ I’(2; –1).

Vậy đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua Đ_O, có tâm I’(2; –1) và R’ = 2 nên có phương trình là:

${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.$

Vận dụng 2

Trong Hình 6, tìm các số ghi tại điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 6 để tìm

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm bia.

• Lấy điểm A nằm trong ô có điểm ghi số 20. Lấy A’ đối xứng với A qua O.

Khi đó ta được điểm A’ nằm trong ô có điểm ghi số 8.

• Lấy điểm B nằm trong ô có điểm ghi số 7. Lấy B’ đối xứng với B qua O.

Khi đó ta được điểm B’ nằm trong ô có điểm ghi số 18.

• Lấy điểm C nằm trong ô có điểm ghi số 9. Lấy C’ đối xứng với C qua O.

Khi đó ta được điểm C’ nằm trong ô có điểm ghi số 15.

Vậy điểm đối xứng qua tâm bia với điểm ghi các số 20; 7; 9 lần lượt là 8; 18; 15.