Giải mục 1 trang 94, 95 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1

Cho vectơ $\overrightarrow a$. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow a ,\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)$: (Hình 1)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow a = \overrightarrow {AC}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\overrightarrow a$và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$

Vectơ $\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)= \overrightarrow {DF}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\left( { - \overrightarrow a } \right)$ và cùng hướng với vectơ $\left( { - \overrightarrow a } \right)$

Thực hành 1

Cho hai vectơ cho hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ $\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a ,\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b$

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: $\left| {3\overrightarrow b } \right|,\left| { - 3\overrightarrow b } \right|,\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của vectơ $\overrightarrow a ;\overrightarrow b$

Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài $\frac{{\left| {\overrightarrow x } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}$

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a$có độ dài bằng 3 lần vectơ $\overrightarrow a$, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b$có độ dài bằng 3 lần vectơ $- \overrightarrow b$, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow b$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là $\sqrt 2$; $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2$ . Suy ra:

$\left| {3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2$; $\left| { - 3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow { - b} } \right| = 3\sqrt 2$; $\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|$

Từ điểm cuối của vectơ $\overrightarrow a$ vẽ một vectơ bằng vectơ $\overrightarrow b$ ta có $\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b$

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ $\overrightarrow c$là $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }} \right)}  = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 2 }^2} - 2.2.\sqrt 2 .\cos \left( {135^\circ } \right)}  = \sqrt {10}$

$\Rightarrow \left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\sqrt {10}$

Thực hành 2

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm $\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}$

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG}$

$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = 3\overrightarrow {MG}$ (đpcm) ( Vì G  là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$)

Vận dụng

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow b$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow a$ của tòa A.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài $\frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow b  =  - \frac{5}{2}\overrightarrow a$