Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) ${u_1} =  - 1;\;\;{u_2} = \frac{1}{2};\;\;\;{u_3} =  - \frac{1}{3};\;\;\;{u_4} = \frac{1}{4};\;\;\;{u_5} =  - \frac{1}{5}$.

b) Ta có: ${u_{100}} = 0,01$ suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Quảng cáo

LT 1

Chứng minh rằng: $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0$.

Phương pháp giải:

Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

$\left| {{u_n}} \right| = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Ta có: $\left| {{u_n}} \right| < 1.69 \times {10^{ - 5}}$ ta cần n > 10.

Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn $1.69 \times {10^{ - 5}}$.

HĐ 2

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$. Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} - 1$. Tính $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }{v_n}\;$.

Phương pháp giải:

Dãy sô $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu $\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0$.

Lời giải chi tiết:

${u_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n} - n}}{n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} \to 0$ khi $n \to  + \infty$.

Do vậy ${v_n}\; = 0$.

LT 2

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}$. Chứng minh rằng $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3$.

Phương pháp giải:

${u_n}\; = a$ khi và chỉ khi $\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0$.

Lời giải chi tiết:

${u_n} = \frac{{3 \times {2^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{3 \times {2^n} - 1 - 3 \times {2^n}}}{{{2^n}}} =  - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0$ khi $n \to  + \infty$.

Do vậy ${u_n}\; = 3$.

VD 1

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử ${u_n}$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0.

Phương pháp giải:

${u_n}\; = a$ khi và chỉ khi $\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0$.

Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Độ cao quả bóng sau 1 lần chạm sàn: ${u_1} = 5.\frac{2}{3}$ (m).

Độ cao quả bóng sau 2 lần chạm sàn: ${u_2} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}$ (m).

…

Độ cao quả bóng sau n lần chạm sàn: ${u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$ (m).

Vì $|q| = \frac{2}{3} < 0$ nên ${u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó giới hạn của ${u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$ bằng 0.