Giải bài 7.8 trang 41 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tính góc giữa hai đường thẳng:

a) ${\Delta _1}:\sqrt 3 x + y - 4 = 0$ và${\Delta _2}:x + \sqrt 3 y + 3 = 0$

b) ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)$

Suy ra: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}$

b) Ta có: $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 3} \right)$

Suy ra: $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 4.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}$