Giải bài 7.36 trang 59 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hypebol có phương trình: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

 a) Tìm các giao điểm ${A_1},{A_2}$của hypebol với trục hoành (hoành độ của ${A_1}$nhỏ hơn của ${A_2}$).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \le  - a$ , nêu điêm M(x, y) thuộc nhánh nằm bên phải trực tung của hypebol thì $x \ge a$.

c) Tìm các điểm${M_1},{M_2}$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trực tung của hypebol để ${M_1}{M_2}$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Các giao điểm của $\left( H \right)$ với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.$

b) Với $M\left( {x;y} \right)$ thuộc (H) ta có $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - a\\x \ge a\end{array} \right.$

Do đó nếu $M\left( {x;y} \right)$ thuộc bên trái trục tung khi thì $x < 0$, suy ra $x \le  - a$.

Nếu $M\left( {x;y} \right)$ thuộc bên phải trục tung khi thì $x > 0$, suy ra $x \ge  - a$.

c) Gọi ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$. Vì ${M_1}$ thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có  ${x_1} \le  - a$,${M_2}$ thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có ${x_2} \ge a$.

Suy ra ${M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}+(0- 0)^2}  = \left| {{x_2} - {x_1}} \right| \ge \left| {a - \left( { - a} \right)} \right| = 2a$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{y_2} - {y_1} = 0\\{x_2} = a\\{x_1} =  - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = a\\{x_1} =  - a\\{y_1} = {y_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{M_1}\left( { - a;0} \right)\\{M_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.$