Giải bài 7.15 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác ABC có $A\left( {2; - 1} \right),B\left( {2; - 2} \right)$ và $C\left( {0; - 1} \right)$

a) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Lời giải chi tiết

a) Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC

+ Viết phương trình đường thẳng BC: có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)$ và BC đi qua $C\left( {0; - 1} \right)$:

$BC:1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow x + 2y + 2 = 0$

+ Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là: $d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 + 2\left( { - 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

b) $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 5$

$S = \frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5  = 1$

c) $S = pr$ với $p = \frac{{a + b + c}}{2}$

+ $a = BC = \sqrt 5$

+ $b = AC = \sqrt {{2^2} + {0^2}}  = 2$

+ $c = AB = \sqrt {{0^2} + {1^2}}  = 1$

$\Rightarrow p = \frac{{\sqrt 5  + 1 + 2}}{2} = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{2} \Rightarrow r = 1:\frac{{\sqrt 5  + 3}}{2} = \frac{2}{{\sqrt 5  + 3}} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$