Giải bài 61 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y =  - x + 3 - \frac{5}{{2x + 1}}\) là:

A. 1.                                  

B. 2.                                  

C. 3.                                  

D. 4.

Lời giải chi tiết

\(y =  - x + 3 - \frac{5}{{2x + 1}} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}}\)

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} =  - \infty \)

Vậy \(x =  - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} =  + \infty \)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{x\left( {2x + 1} \right)}} =  - 1\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{6{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = 3\)

Vậy đường thẳng \(y =  - x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn B.