Giải bài 6 trang 82 SGK Toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho Hình78, biết $A{H^2} = BH.CH$. Chứng minh:

a)      $\Delta HAB \backsim \Delta HCA$

b)     Tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$A{H^2} = BH.CH \Rightarrow AH.AH = BH.CH \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$

Xét tam giác HAB và tam giác HCA có:

$\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ và $\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta HAB \backsim \Delta HCA$ (c-g-c)

b) Vì $\Delta HAB \backsim \Delta HCA$ nên $\widehat {HBA} = \widehat {HAC}$

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$\begin{array}{l}\widehat {HAB} + \widehat {HBA} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat {HAC} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \end{array}$

Vậy tam giác ABC vuông tại A.