Giải bài 48 trang 79 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12x.\)

a) Tìm \(f'\left( x \right)\)và giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0.\)

b) Tìm \(f''\left( x \right)\)và giải phương trình \(f''\left( x \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết

a) \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12x} \right)^\prime } = {x^2} - x - 12.\)

Theo đề bài: \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x <  - 3\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\)

b) \(f''\left( x \right) = {\left( {{x^2} - x - 12} \right)^\prime } = 2x - 1.\)

Theo đề bài: \(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\)

Nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{1}{2}.\)