Bài 41 trang 11 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

$\sqrt {\dfrac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}}$ ($x ≥ 0$);

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A \ge 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}}$ 

Và $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ 

Với $A \ge 0$ thì $\left| A \right| = A$

với $A < 0$ thì $\left| A \right| = - A$.

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết:

Vì $x ≥ 0$ nên $x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}$

Ta có: 

$\displaystyle\eqalign{ & \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr  & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr  & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr}$

$\displaystyle \displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} }}$ 

$= \dfrac{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\left| {\sqrt x  + 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\sqrt x  + 1}}$  

+) Nếu $\displaystyle\sqrt x  - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$  thì $\displaystyle\left| {\sqrt x  - 1} \right| = \sqrt x  - 1$

Ta có: $\displaystyle{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x  + 1}}$ (với $x ≥ 1)$

+) Nếu $\displaystyle\sqrt x  - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ thì $\displaystyle\left| {\sqrt x  - 1} \right| = 1 - \sqrt x$

Ta có:

$\displaystyle{{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x  + 1}}$ (với $0 ≤ x < 1$)

LG câu b

$\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y  - 1}}\sqrt {\dfrac{{y - 2\sqrt y  + 1}}{{{{(x - 1)}^4}}}}$ $(x ≠1, y ≠ 1$ và $y ≥ 0).$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với $A \ge 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}}$ 

Và $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ 

Với $A \ge 0$ thì $\left| A \right| = A$

với $A < 0$ thì $\left| A \right| = - A$.

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết:

Vì $y ≥ 0$ nên $y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}$

Ta có: 

$\displaystyle\eqalign{ & {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr  & = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( \sqrt y - 1 \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr}$

$\displaystyle\eqalign{& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}}  \cr & = { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}  \cr}$

+) Nếu $y>1$

 Ta có $\displaystyle\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1$ nên:

$\displaystyle  { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = { { \sqrt y-1 } \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}$$=\dfrac {1}{x-1}$

+) Nếu $0 \le y < 1$

Ta có  $\left| {\sqrt y  - 1} \right| = -( \sqrt y -1)$ nên:

$\displaystyle { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = { { -(\sqrt y-1) } \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}$$= \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}}$ 

HocTot.Nam.Name.Vn