Giải bài 4 trang 27 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Chứng tỏ rằng:

$a)M = {32^{2023}} - {32^{2021}}$ chia hết cho 31

b) $N = {7^6} + {2.7^3} + {8^{2022}} + 1$ chia hết cho  8

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l}a)M = {32^{2023}} - {32^{2021}}\\M = {32^{2021}}\left( {{{32}^2} - 1} \right)\\M = {32^{2021}}.1023\end{array}$

Vì $1023 \vdots 31$ nên $M = \left( {{{32}^{2021}}.1023} \right) \vdots 31$

Vậy M chia hết cho 31.

$\begin{array}{l}b)N = {7^6} + {2.7^3} + {8^{2022}} + 1\\N = {\left( {{7^3}} \right)^2} + {2.7^3} + 1 + {8^{2022}}\\N = {\left( {{7^3} + 1} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {\left( {344} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {\left( {8.43} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {8^2}\left( {{{43}^2} + {8^{2020}}} \right)\end{array}$

Vì ${8^2} \vdots 8$ suy ra $N = {8^2}\left( {{{43}^2} + {8^{2020}}} \right) \vdots 8$

Vậy N chia hết cho 8