Bài 1.3 phần bài tập bổ sung trang 48 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho một nửa đường tròn bán kính $AB$. Điểm $M$ chạy trên nửa đường tròn. Kẻ $MH$ vuông góc với $AB$ tại $H.$ Đặt $MH = x.$

$a)$ Chứng minh rằng hai tam giác $AHM$ và $MHB$ đồng dạng.

$b)$ Chứng minh rằng $AH.BH = M{H^2}$.

$c)$ Khi $M$ chuyển động thì $x$ thay đổi, do đó tích $AH.BH$ cũng thay đổi theo. Kí hiệu tích $AH.BH$ bởi $P(x).$ Hỏi $P(x)$ có phải là một hàm số của biến số $x$ hay không$?$ Viết công thức biểu thị hàm số này.

Lời giải chi tiết

$a)$ $∆ AMB$ nội tiếp trong đường tròn có $AB$ là đường kính nên $\widehat {AMB} = 90^\circ$

Suy ra: $\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 90^\circ$  $(1)$

$∆ AMH$ vuông tại $H.$

$\widehat {MAH} + \widehat {HMA} = 90^\circ$

hay $\widehat {MAB} + \widehat {HMA} = 90^\circ$    $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat {MBA} = \widehat {HMA}$

hay $\widehat {MBH} = \widehat {HMA}$

Xét $∆ AHM$ và $∆ MHB:$

$\widehat {AHM} = \widehat {MHB} = 90^\circ$

$\widehat {MBH} = \widehat {HMA}$

Suy ra: $∆ AHM$ đồng dạng $∆ MHB\; (g.g)$

$b)$ $∆ AHM$ đồng dạng $∆ MHB$ (theo câu a)

Suy ra $\displaystyle{{MH} \over {HA}} = {{HB} \over {HM}} \Rightarrow HA.HB = H{M^2}$

$c)$ Ta có: $HA.HB = H{M^2}$ (theo câu b)

Suy ra $P(x) = {x^2}$

Với mỗi giá trị của $x$ ta có một giá trị xác định của $P(x).$

Vậy $P(x)=x^2$ là một hàm số.

HocTot.Nam.Name.Vn