Giải bài 1.16 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các số thực A, B và C thỏa mãn

$\frac{1}{{{x^3} + 1}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} - x + 1}}$

Lời giải chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{A}{{x + 1}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{A.({x^2} - x + 1)}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{\left( {Bx + C} \right).(x + 1)}}{{{x^3} + 1}}\\ = \frac{{A.({x^2} - x + 1) + \left( {Bx + C} \right).(x + 1)}}{{{x^3} + 1}} = \frac{{(A + B){x^2} + (B + C - A)x + A + C}}{{{x^3} + 1}}\\ \Rightarrow (A + B){x^2} + (B + C - A)x + A + C = 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A + B = 0\\B + C - A = 0\\A + C = 1\end{array} \right.\end{array}$

Dùng máy tính cầm tay giải hệ pt ta được $A = \frac{1}{3};B =  - \frac{1}{3};C = \frac{2}{3}.$